Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3²ⁿ-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=3²ⁿ-3，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出an=

6，n=1 8•9n-1，n≥2

．
（2）由b_n=

n

an

=

1 6 ，n=1 n 8•9n-1 ，n≥2

，利用分組求和法和錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3²ⁿ-3，
∴a₁=S₁=3²-3=6，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3²ⁿ-3-3^2n-2+3=8•9^n-1．
∴an=

6，n=1 8•9n-1，n≥2

．
（2）∵b_n=

n

an

=

1 6 ，n=1 n 8•9n-1 ，n≥2

，
∴n=1時，T_n=

1

6

，
n≥2時，T_n=

1

6

+

2

8×9

+

3

8×92

+…+

n

8×9n-1

，①

1

9

Tn=

1

6×9

+

2

8×92

+

3

8×93

+…+

n

8×9n

，②
①-②，得

8

9

Tn=

8

54

+

2

72

+

1

8

（

1

92

+

1

93

+…+

1

9n-1

）-

n

8×9n

=

19

108

+

1

8

×

1 81 (1- 1 9n-2 )

1- 1 9

-

n

8×9n

=

19

108

+

1

64×9

-

1

64×9n

-

n

8×9n

，
∴T_n=

301

1536

-

1

512×9n-1

-

n

64×9n-1

．
∴T_n=

1 6 ，n=1 301 1536 - 1 512×9n-1 - n 64×9n-1 ，n≥2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和地和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．