Question

9．已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（-∞，-\frac{1}{3}）$
• B． $（-\frac{1}{3}，+∞）$
• C． $（\frac{1}{3}，+∞）$
• D． $（-∞，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 直線x+y+m=0得直線斜率k=-1，若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則等價(jià)為f′（x）≠-1，恒成立，解不等式即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3a≥-3a，
若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則直線的斜率為-1，
等價(jià)為f（x）′=3x²-3a≠-1，
又拋物線開口向上則必在直線上面，即最小值大于直線斜率，
則當(dāng)x=0時(shí)取最小值，-3a＞-1，
則a的取值范圍為a＜$\frac{1}{3}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．