Question

1．已知函數(shù)f（x）=|3x+a|-a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為非空子集{x|-1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知m+n=1（m，n＞0），若$|{x-3}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}（a＞0）$對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值，求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出m、n的值即可，設(shè)g（x）=|x-3|-f（x），通過討論x的范圍，得到g（x）的最大值，從而求出Aa的范圍即可．

解答 解：（1）|3x+a|-a≤6，-a-6≤3x+a≤a+6，
$-\frac{2}{3}a-2≤x≤2$，
$-1≤-\frac{2a}{3}-2≤2$，
-6≤a≤-$\frac{3}{2}$；
（2）∵$m+n=1（m，n＞0），\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）=2+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}≥2\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{m}{n}}+2=4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$m=n=\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)；
設(shè)g（x）=|x-3|-f（x）=|x-3|-|3x+a|+a=$\left\{{\begin{array}{l}{2x+3+2a，x＜-\frac{a}{3}}\\{-4x+3，-\frac{a}{3}≤x≤3}\\{-2x-3，x＞3}\end{array}}\right.$，
根據(jù)圖象可知當(dāng)$x=-\frac{a}{3}$取最大值，$g（-\frac{a}{3}）≤4$，即$-4×（-\frac{a}{3}）+3≤4⇒0＜a≤\frac{3}{4}$，
所以a的取值范圍為：0＜a≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．