Question

6．已知函數(shù)$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的反函數(shù)；
（2）當(dāng)a≥9時(shí)，證明函數(shù)g（x）=f（x）+2^x在[0，1]上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）a=-2時(shí)，得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可設(shè)y=f（x），從而可以得到${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$，進(jìn)一步得到$x=lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，并可以得到y(tǒng)∈（-1，1），x換y，y換x從而便可得出f（x）的反函數(shù)；
（2）先得出$g（x）=\frac{a}{{2}^{x}+1}+{2}^{x}+1$，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）[1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}]$，從而證明g（x₁）＞g（x₂）便可得出g（x）在[0，1]上為減函數(shù)．

解答 解：（1）a=-2時(shí)，$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，設(shè)y=f（x），則：
${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$；
∴$x=lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$；
又${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$＞0；
解得-1＜y＜1；
∴${f^{-1}}（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}（{x∈（{-1，1}）}）$；
（2）證明：$g（x）=\frac{a}{{2}^{x}+1}+{2}^{x}+1$；
設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，則：
$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=\frac{a}{{2}^{{x}_{1}}+1}+{2}^{{x}_{1}}-\frac{a}{{2}^{{x}_{2}}+1}-{2}^{{x}_{2}}$=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）[1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}]$；
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，4＜$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）＜9$；
又a≥9；
∴$1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$；
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴當(dāng)a≥9時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+2^x在[0，1]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查反函數(shù)的概念及其求法，分式不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，以及減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較g（x₁），g（x₂）的大小，作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式．