Question

17．為了整頓食品的安全衛(wèi)生，食品監(jiān)督部門(mén)對(duì)某食品廠生產(chǎn)甲、乙兩種食品進(jìn)行了檢測(cè)調(diào)研，檢測(cè)某種有害微量元素的含量，隨機(jī)在兩種食品中各抽取了10個(gè)批次的食品，每個(gè)批次各隨機(jī)地抽取了一件，下表是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖（單位：毫克）．

規(guī)定：當(dāng)食品中的有害微量元素的含量在[0，10]時(shí)為一等品，在[10，20]為二等品，20以上為劣質(zhì)品．
（1）用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個(gè)數(shù)據(jù)，再分別從這5個(gè)數(shù)據(jù)中各選取2個(gè)，求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率；
（2）每生產(chǎn)一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質(zhì)品虧損20元，根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的頻率，分別估計(jì)這兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率，若分別從甲、乙食品中各抽取1件，設(shè)這兩件食品給該廠帶來(lái)的盈利為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從甲中抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有$4×\frac{5}{10}=2$個(gè)，非一等品有3個(gè)，從乙中抽取5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有$6×\frac{5}{10}=3$個(gè)，非一等品有2個(gè)，利用互斥事件與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得：甲的 一等品數(shù)與乙 的一等品數(shù)相等的概率．
（2）X可取-40，0，30，40，70，100．利用互斥事件與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）從甲中抽取的5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有$4×\frac{5}{10}=2$個(gè)，非一等品有3個(gè)，
從乙中抽取5個(gè)數(shù)據(jù)中，一等品有$6×\frac{5}{10}=3$個(gè)，非一等品有2個(gè)，
∴甲的 一等品數(shù)與乙 的一等品數(shù)相等的概率為：$P=\frac{C_3^2C_2^2+C_2^1C_3^1C_3^1C_2^1+C_2^2C_3^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{21}{50}$．
（2）X可取-40，0，30，40，70，100.$P（X=-40）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，$P（X=0）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{3}{25}$，$P（X=30）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$，$P（X=40）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{2}{25}$，$P（X=70）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{8}{25}$，$P（X=100）=\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$．
∴X的分布列為

X	-40	0	30	40	70	100
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{6}{25}$

$E（X）=-40×\frac{1}{25}+0×\frac{3}{25}+30×\frac{1}{5}+40×\frac{2}{25}+70×\frac{8}{25}+100×\frac{6}{25}=54$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互斥事件與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．