Question

下列4個命題中，p是q的充要條件的個數(shù)是（　　）
①p：A∪B=A，q：∁_UA⊆∁_UB；
②p：y=f（x-1）為奇函數(shù)，q：y=f（x）關(guān)于點（1，0）對稱；
③p：?x∈R⁺，滿足方程ax-2=0，q：?b∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3ax+b在（-1，1）上遞減；
④p：

2＜x+y＜4 0＜xy＜3

，q：

0＜x＜1 2＜y＜3

．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)并集、補集、子集的概念，奇函數(shù)圖象特點，一元一次方程解的情況，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，取特殊值的方法，以及充要條件的概念即可求出p是q的充要條件的個數(shù)．

解答： 解：①若A∪B=A，則B⊆A；
∴∁_UA⊆∁_UB；
而若∁_UA⊆∁_UB，則∁_U（∁_UB）⊆∁_U（∁_UA）；
∴B⊆A；
∴A∪B=A；
∴p是q的充要條件；
②令x-1=t，即可得到函數(shù)f（x）；
因為f（x-1）為奇函數(shù)，∴關(guān)于原點（0，0）對稱；
而x=0時，t=-1；
∴f（x）關(guān)于（-1，0）對稱；
∴p不是q的充要條件；
③由p知?x∈R⁺，滿足方程x=

2

a

；
∴a＞0；
若a＞0，對于x∈（-1，1），f′（x）=3a（x²-1）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上遞減；
而若f（x）在（-1，1）上遞減，則f′（x）＜0；
∴a＞0；
所以p是q的充要條件；
④對于p，取x=2，y=1，便得不到q；
∴p不是q的充要條件；
∴p是q的充要條件的個數(shù)是2．
故選B．

點評：考查并集、補集、子集的概念，奇函數(shù)圖象的特點，f（x-1）和f（x）圖象的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及特殊值法解決問題，充要條件的概念．