Question

7．某商場每天以每件100元的價格購入A商品若干件，并以每件200元的價格出售，若所購進(jìn)的A商品前8小時沒有售完，則商場對沒賣出的A商品以每件60元的低價當(dāng)天處理完畢（假定A商品當(dāng)天能夠處理完）．該商場統(tǒng)計了100天A商品在每天的前8小時的銷售量，制成如表格．

前8小時的銷售量t（單位：件）	5	6	7
頻    數(shù)	40	35	25

￢（Ⅰ）若某天該商場共購入7件A商品，在前8個小時售出5件． 若這些產(chǎn)品被7名不同的顧客購買，現(xiàn)從這7名顧客中隨機選3人進(jìn)行回訪，記X表示這3人中以每件200元的價格購買的人數(shù)，求X的分布列；
（Ⅱ）將頻率視為概率，要使商場每天購進(jìn)A商品時所獲得的平均利潤最大，則每天應(yīng)購進(jìn)幾件A商品，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）設(shè)商場銷售A商品獲得的平均利潤為ξ（單位：元），依題意，半頻率視為概率，為使每天獲得的平均利潤最大，則每天應(yīng)購進(jìn)的件數(shù)為5件或6件或7件，分別求出相應(yīng)的平均利潤，由此能求出商場每天購進(jìn)6件A商品時獲得的平均利潤最大．

解答 解：（Ⅰ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{5}{35}$=$\frac{1}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{20}{35}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

（Ⅱ）設(shè)商場銷售A商品獲得的平均利潤為ξ（單位：元），
依題意，半頻率視為概率，為使每天獲得的平均利潤最大，
則每天應(yīng)購進(jìn)的件數(shù)為5件或6件或7件，
當(dāng)購進(jìn)5件時，E（ξ）=100×5=500，
當(dāng)購進(jìn)6件時，E（ξ）=（100×5-40）×$\frac{40}{100}$+100×6×$\frac{35+25}{100}$=544，
當(dāng)購進(jìn)件時，E（ξ）=（100×5-80）×$\frac{40}{100}$+（100×6-40）×$\frac{35}{100}$+100×$7×\frac{25}{100}$=539，
∴商場每天購進(jìn)6件A商品時獲得的平均利潤最大．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，考查要使商場每天購進(jìn)A商品時所獲得的平均利潤最大，則每天應(yīng)購進(jìn)幾件A商品的求法，是中檔題，注意數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的合理運用．