Question

3．在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=1，\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{1-\sqrt{a_n}}}{{1+\sqrt{{a_{n-1}}}}}（n＞1）$．
（Ⅰ）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{\sqrt{a_n}}}}\right\}$是等差數(shù)列；
（Ⅱ）令${b_n}=lg\frac{{1-\sqrt{{a_{n+1}}}}}{{1+\sqrt{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前數(shù)列n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用根式的有理化因式及其有關(guān)運(yùn)算、等差數(shù)列的定義即可證明；
（II）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“累加求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{1-\sqrt{a_n}}}{{1+\sqrt{{a_{n-1}}}}}$，
∴${a_n}+{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}={a_{n-1}}-{a_{n-1}}\sqrt{a_n}$，
∴${a_n}-{a_{n-1}}=-{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}-{a_{n-1}}\sqrt{a_n}=-\sqrt{{a_n}{a_{n-1}}}（\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n-1}}}）$，…（4分）
∵$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n-1}}}＞0$，
∴$\sqrt{a_n}-\sqrt{{a_{n-1}}}=-\sqrt{{a_n}{a_{n-1}}}$，
∴$\frac{1}{{\sqrt{a_n}}}-\frac{1}{{\sqrt{{a_{n-1}}}}}=1（n＞1）$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{\sqrt{a_n}}}}\right\}$是等差數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）∵$\frac{1}{{\sqrt{a_1}}}=1$，∴$\frac{1}{{\sqrt{a_n}}}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a_n}=\frac{1}{n^2}（n∈{N^*}）$．…（8分）
∵$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{{1-\sqrt{{a_{n+1}}}}}{{1+\sqrt{a_n}}}$，
∴${b_n}=lg\frac{{1-\sqrt{{a_{n+1}}}}}{{1+\sqrt{a_n}}}=lg\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2[{lgn-lg（n+1）}]$，…（10分）
∴${S_n}=2[{lg1-lg2+lg2-lg3+…+lgn-lg（n+1）}]=-2lg（n+1）（n∈{N^*}）$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．