Question

18．設函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{3}$，2）
• B． （$\root{3}{4}$，2）
• C． [$\root{3}{4}$，2）
• D． （$\root{3}{4}$，2]

Answer 1

分析 由已知中f（x）是定義在R上的偶函數，對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我們可以得到函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，則不難畫出函數f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結合方程的解與函數的零點之間的關系，我們可將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：設x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，
∴f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴當x∈[2，4]時，（x-4）∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=x^x-4-1；
當x∈[4，6]時，（x-4）∈[0，2]，
∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，
∴函數y=f（x）與函數y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上恰有三個交點，
通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}（6+2）＞3\\{log}_{a}（2+2）＜3\end{array}\right.$，解得：${2}^{\frac{2}{3}}$＜a＜2，

即$\root{3}{4}$＜a＜2，因此所求的a的取值范圍為（$\root{3}{4}$，2）．
故選：B

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．