Question

4．某公司做了用戶對其產品滿意度的問卷調查，隨機抽取了20名用戶的評分，得到圖3所示莖葉圖，對不低于75的評分，認為用戶對產品滿意，否則，認為不滿意，
（Ⅰ）根據以上資料完成下面的2×2列聯表，若據此數據算得K²=3.7781，則在犯錯的概率不超過5%的前提下，你是否認為“滿意與否”與“性別”有關？

	不滿意	滿意	合計
男		4	7
女
合計

附：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

（Ⅱ） 估計用戶對該公司的產品“滿意”的概率；
（Ⅲ） 該公司為對客戶做進一步的調查，從上述對其產品滿意的用戶中再隨機選取2人，求這兩人都是男用戶或都是女用戶的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據莖葉圖，填寫2×2列聯表，計算出K²的值，對照數表得出結論；
（Ⅱ）利用頻率值估計概率即可；
（Ⅲ）用列舉法計算基本事件數，求出對應的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）根據莖葉圖，填寫2×2列聯表，如下；

	不滿意	滿意	合計
男	3	4	7
女	11	2	13
合計	14	6	20

計算K²=$\frac{20{×（3×2-4×11）}^{2}}{7×13×6×14}$≈3.7781，----（2分）
∵K²≈3.7781＜3.84 1，
∴在犯錯的概率不超過5%的前提下，不能認為“滿意與否”與“性別”有關；----（4分）
（Ⅱ）因樣本20人中，對該公司產品滿意的有6人，
故估計用戶對該公司的產品“滿意”的概率為$\frac{6}{20}=0.3$，----（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，對該公司產品滿意的用戶有6人，其中男用戶4人，女用戶2人，
設男用戶分別為a，b，c，d；女用戶分別為e，f，----（8分）
從中任選兩人，記事件A為“選取的兩個人都是男用戶或都是女用戶”，則
總的基本事件為（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），
（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15個，----（10分）
而事件A包含的基本事件為（a，b），（a，c），（a，d），
（b，c），（b，d），（c，d），（e，f）共7個，
故P（A）=$\frac{7}{15}$．--（12分）

點評 本題主要考查莖葉圖與對立性檢驗的應用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目．