Question

9．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為正常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
②雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{35}$=1有相同的焦點(diǎn)；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y²=4x上的兩點(diǎn)A，B滿足$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則弦AB的中點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為$\frac{8}{3}$．
其中真命題的序號(hào)為③④．

Answer 1

分析 由題意定義判斷①；由圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸判斷②；求解方程判斷③；利用直線與拋物線的位置關(guān)系判斷④．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)k=|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段AB，故①錯(cuò)誤
對(duì)于②，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，而橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{35}$=1的焦點(diǎn)在y軸上，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，求解方程2x²-5x+2=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}$，x₂=2，
∴方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故③正確；
對(duì)于④，如圖：設(shè)BF=m，由拋物線的定義知，AA₁=3m，BB₁=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，${k}_{AB}=\sqrt{3}$，直線AB方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立消y得3x²-10x+3=0，
AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+1=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓錐曲線的定義、方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題．