Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，求證：
（1）平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）AB₁∥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直的判定定理得出BD⊥平面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理得出平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）連接B₁C交BC₁于O，連接OD，證明OD∥B₁A，由線面平行的判定定理證明AB₁∥平面C₁BD．

解答 證明：（1）因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，
所以BD⊥AC，
又因?yàn)锳A₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BD，
根據(jù)線面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁ACC₁，
又因?yàn)锽D?平面C₁BD，
所以平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）如圖所示，
連接B₁C交BC₁于O，連接OD，
因?yàn)樗倪呅蜝CC₁B₁是平行四邊形，
所以點(diǎn)O為B₁C的中點(diǎn)，
又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，
所以O(shè)D為△AB₁C的中位線，
所以O(shè)D∥B₁A，
又OD?平面C₁BD，AB₁?平面C₁BD，
所以AB₁∥平面C₁BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．