Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+alnx（a∈R）．
（1）試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：f（x₂）＞-2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x₂）的表達式，令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+（2x-x²）lnx，x∈（0，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＜g（2）=-2，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+alnx（a∈R）$，
得：$f'（x）=x-2+\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-2x+a}}{x}（a∈R）$（1分）
①當(dāng)a≥1時，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2分）
②當(dāng)0＜a＜1時，$0＜1-\sqrt{1-a}＜1+\sqrt{1-a}$，
由f'（x）＞0，得$0＜x＜1-\sqrt{1-a}$或$x＞1+\sqrt{1-a}$；
f'（x）＜0得$1-\sqrt{1-a}＜x＜1+\sqrt{1-a}$，
故f（x）在區(qū)間$（0，1-\sqrt{1-a}）$和$（1+\sqrt{1-a}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（1-\sqrt{1-a}，1+\sqrt{1-a}）$上單調(diào)遞減；（3分）
③a=0時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x，x＞0$，
f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增；（4分）
④a＜0時，$1-\sqrt{1-a}＜0＜1+\sqrt{1-a}$，
由f'（x）＞0得$x＞1+\sqrt{1-a}$，f'（x）＜0得$0＜x＜1+\sqrt{1-a}$，
故f（x）在區(qū)間$（0，1+\sqrt{1-a}）$上單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（1+\sqrt{1-a}，+∞）$上單調(diào)遞增；（5分）
綜上所述：當(dāng)a≥1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間$（0，1-\sqrt{1-a}）$和$（1+\sqrt{1-a}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（1-\sqrt{1-a}，1+\sqrt{1-a}）$上單調(diào)遞減；
a=0時，f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增；
a＜0時，f（x）在區(qū)間$（0，1+\sqrt{1-a}）$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（1+\sqrt{1-a}，+∞）$上單調(diào)遞增．（6分）
（2）由（1）可知，0＜a＜1，且x₁+x₂=2，x₁•x₂=a，（7分）
∴f（x₂）=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-2x₂+alnx₂=$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-2x₂+（2x₂-${{x}_{2}}^{2}$）lnx₂，
∵x₁＜x₂，且x₁+x₂=2，x₁•x₂=a，0＜a＜1，∴0＜x₂＜2．（8分）
令$g（x）=\frac{1}{2}x_{\;}^2-2x+（2x-x_{\;}^2）lnx，x∈（0，2）$…（9分）
則$g'（x）=x-2+（2-2x）lnx+\frac{{2x-{x^2}}}{x}=2（1-x）lnx$…（10分）
當(dāng)0＜x≤1，1-x≥0，lnx≤0，所以g'（x）≤0，當(dāng)1＜x＜2，1-x＜0，lnx＞0，
所以g'（x）＜0；∴x∈（0，2），g'（x）≤0，
∴g（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減．…（11分）
∴x∈（0，2）時，g（x）＞g（2）=-2
綜上所述：若x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)f（x）的兩個極值點，則f（x₂）＞-2．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．