Question

7．已知${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2）計(jì)算這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)，并歸納該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由遞推公式依次求出數(shù)列的前4項(xiàng)，由歸納推理得出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：由${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2），
得${a_1}=\frac{1}{4}$，
${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}+{2}^{-2}=\frac{3}{8}$，
${a}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{2}+{2}^{-3}=\frac{5}{16}$，
${a}_{4}=\frac{1}{2}{a}_{3}+{2}^{-4}=\frac{7}{32}$
…
歸納得$a{\;}_n=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．