Question

8．已知側(cè)棱與底面垂直的三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的正三角形，三棱柱存在一個(gè)與上、下底面及所有側(cè)面都相切的內(nèi)切球，則該棱柱的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$：1
• C． $\sqrt{5}$：$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 利用底面是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的正三角形，可得正三角形的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，外接圓的半徑為2，進(jìn)而得出內(nèi)切球的半徑、三棱柱的高，求出棱柱的外接球的半徑，即可得出棱柱的外接球與內(nèi)切球的半徑之比．

解答 解：∵底面是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的正三角形，
∴正三角形的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，外接圓的半徑為2，
∴內(nèi)切球的半徑$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，
∴三棱柱的高為2，
∴棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴該棱柱的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為$\sqrt{5}$：1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的外接球與內(nèi)切球的半徑之比，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出棱柱的外接球與內(nèi)切球的半徑之比是關(guān)鍵．