Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+2x-1（b∈R）．
（1）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）+1}{{x}^{2}}$，若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若對(duì)?x∈[1，2]，均?t∈[1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的最小值，根據(jù)最小值大于0，求出b的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為et-lnt≤x³+bx²+3，設(shè)h（t）=et-lnt，t∈[1，2]，得到h（t）≥e，問題轉(zhuǎn)化為e≤x³+bx²+3對(duì)x∈[1，2]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（1）∵g（x）=x+$\frac{2}{x}$+b≥2$\sqrt{2}$+b（x＞0），
∴$g{（x）_{min}}=2\sqrt{2}+b$，
∴g（x）在（0，+∞）上沒零點(diǎn)
$?g{（x）_{min}}=2\sqrt{2}+b＞0$$?b＞-2\sqrt{2}$，
∴$b∈（-2\sqrt{2}，+∞）$；                         
（2）∵et-lnt-4≤f（x）-2x
?et-lnt≤x³+bx²+3，
設(shè)h（t）=et-lnt，t∈[1，2]，
∵h(yuǎn)′（t）=e-$\frac{1}{t}$≥0對(duì)t∈[1，2]恒成立，
∴h（t）在t∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（t）≥h（1）=e，
∴e≤x³+bx²+3對(duì)x∈[1，2]恒成立，
∴$b≥-（x+\frac{3-e}{x^2}）$對(duì)x∈[1，2]恒成立，
設(shè)$m（x）=-（x+\frac{3-e}{x^2}）$，x∈[1，2]，
∵m′（x）=-1+$\frac{6-2e}{{x}^{3}}$≤5-2e＜0，
∴m（x）在x∈[1，2]遞減，
∴m（x）≤M（1）=e-4，
∴b≥e-4，即b∈[e-4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．