Question

12．已知關(guān)于x的不等式ax²-3x+2＜0（a∈R）
（Ⅰ）若不等式ax²-3x+2＜0的解集為{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（Ⅱ）求不等式ax²-3x+2＞5-ax（a∈R）的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）ax²-3x+2=0的兩根為x=1或x=b，且a＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a，b的值；
（Ⅱ）原不等式化為（ax-3）（x+1）＞0，然后分類討論求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，
∴ax²-3x+2=0的兩根為x=1或x=b，且a＞0，
∴1+b=$\frac{3}{a}$，b=$\frac{2}{a}$，
解得a=1，b=2；
（Ⅱ）∵ax²-3x+2＞5-ax，
∴ax²+（a-3）x-3＞0，
即（ax-3）（x+1）＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，原不等式解集為（-∞，-1）
當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax-3）（x+1）=0的根為x=$\frac{3}{a}$，或x=-1，
∴①當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{3}{a}$＞-1，原不等式解集為（-∞，-1）∪（$\frac{3}{a}$，+∞），
②當(dāng)-3＜a＜0時(shí)，$\frac{3}{a}$＜-1，原不等式解集為（$\frac{3}{a}$，-1），
③當(dāng)a=-3時(shí)，$\frac{3}{a}$=-1，原不等式解集為∅
④當(dāng)a＜-3時(shí)，原不等式解集為（-1，$\frac{3}{a}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及方程的根與不等式的解集之間的關(guān)系，屬于中檔題