Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，它在點(diǎn)處的切線為直線．

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）對曲線的極坐標(biāo)方程兩邊乘以化為直角坐標(biāo)方程.利用導(dǎo)數(shù)可求得曲線在處的切線方程.（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線距離公式和三角恒等變換的知識，可求得到直線距離的取值范圍.

試題解析：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：（Ⅰ）∵曲線的極坐標(biāo)方程為，

∴，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，

又的直角坐標(biāo)為（2,2），

∵，∴.

∴曲線在點(diǎn)（2,2）處的切線方程為，

即直線的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，

則到直線的距離，

當(dāng)時(shí)，有最小值0.

當(dāng)時(shí)，有最大值.

∴到直線的距離的取值范圍為[0, ].