Question

12．對任意兩個非零的平面向量$\overrightarrow α$，$\overrightarrow β$，定義$\overrightarrow α$和$\overrightarrow β$之間的新運算⊙：$\overrightarrow α⊙\overrightarrow β=\frac{\overrightarrow α•\overrightarrow β}{\overrightarrow β•\overrightarrow β}$．已知非零的平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$和$\overrightarrow b⊙\overrightarrow a$都在集合$\{x|x=\frac{{\sqrt{3}k}}{3}，k∈{Z}\}$中，且$|\overrightarrow a|≥|\overrightarrow b|$．設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角$θ∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$，則$（\overrightarrow a⊙\overrightarrow b）sinθ$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 令$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{3}{k}_{1}}{3}$，$\overrightarrow b⊙\overrightarrow a$=$\frac{|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\sqrt{3}{k}_{2}}{3}$．則cos²θ=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{3}$，根據θ的范圍和|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow$|得出k₁，k₂的值，計算出$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$和sinθ．

解答 解：$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|•cosθ}{|\overrightarrow{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{3}{k}_{1}}{3}$，$\overrightarrow b⊙\overrightarrow a$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|•cosθ}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\sqrt{3}{k}_{2}}{3}$．
∴（$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow b⊙\overrightarrow a$）=cos²θ=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{3}$，∵$θ∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$，∴$\frac{1}{2}$＜cos²θ＜$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$＜$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{3}$＜$\frac{3}{4}$．
∵k₁，k₂∈Z，∴k₁k₂=2．∵$|\overrightarrow a|≥|\overrightarrow b|$，∴k₁=2，k₁=1，∴cos²θ=$\frac{2}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．：$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$（\overrightarrow a⊙\overrightarrow b）sinθ$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了向量的數量積運算和對新定義的應用，根據所給條件找出k₁，k₂的值是解題關鍵．