Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時  f（x）=2x-x²，則f（-1）=-1；若函數(shù)g（x）=f（x）+k-1有三個零點，則k的取值范圍（0，2）．

Answer 1

分析 設x＜0，則-x＞0，由已知表達式可求f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求f（x）；g（x）=f（x）+k-1有三個零點即f（x）=1-k有三個根，可得函數(shù)y=f（x）與y=1-k的圖象有三個交點，作出函數(shù)的圖象可求k的取值范圍．

解答 解：設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-2x-（-x）²=-2x-x²，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=2x+x²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
f（-1）=1-2=-1．
作出f（x）的圖象：g（x）=f（x）+k-1有三個零點即f（x）=1-k有三個根，
∴函數(shù)y=f（x）與y=1-k的圖象有三個交點，
根據(jù)圖象可知-1＜1-k＜1，解得0＜k＜2，
∴k的取值范圍是（0，2）．
故答案為：-1；（0，2）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性及其應用，考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)方程思想．