Question

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（5，1），且圓心C在直線x-y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心在直線x-y+1=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓的半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入圓的方程，求解方程組即可得到待求系數(shù)，則方程可求；
（2）分斜率存在和不存在寫出切線方程，當(dāng)斜率不存在時，驗(yàn)證知符合題意，當(dāng)斜率存在時，利用圓心到直線的距離等于半徑可求k的值，所以圓的切線方程可求．

解答：解：（1）因?yàn)閳A心C在直線x-y+1=0上，所以設(shè)圓C的圓心C（a，a+1），半徑為r（r＞0），
所以圓的方程為（x-a）²+（y-a-1）²=r²．
因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（5，1），
所以，

(1-a)2+(3-a-1)2=r2 (5-a)2+(1-a-1)2=r2

，即

2a2-6a+5=r2 2a2-10a+25=r2

，
解得：

a=5 r=5

．
所以，圓C的方程為（x-5）²+（y-6）²=25；
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+3，或x=0
當(dāng)l的方程為x=0時，驗(yàn)證知l與圓C相切．
當(dāng)l的方程為y=kx+3，即kx-y+3=0時，
圓心C到直線l的距離為d=

|5k-6+3|

k2+1

=5，解得：k=-

8

15

．
所以，l的方程為y=-

8

15

x+3，即8x+15y-45=0．
所以，直線l的方程為x=0，或8x+15y-45=0．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求圓的方程，一般可通過已知條件，設(shè)出所求方程，再尋求方程組進(jìn)行求解．
考查了過定點(diǎn)的圓的切線方程的求法，注意分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑比聯(lián)立方程后讓判別式等于0要簡潔．此題是中檔題．