Question

4．設(shè)f（x）=-x²-ax+1，g（x）=ax²+x+a
（1）若f（x）在[1，2]上的最小值為4，求出a的值；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得對(duì)任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出對(duì)稱(chēng)軸方程，討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值，解方程可得a；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得對(duì)任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），即為f（x₁）_max≥g（x₂）_max，分別求得f（x），g（x）在[1，2]上的最大值，注意對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，最后求并集即可．

解答 解：（1）f（x）=-x²-ax+1的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤1，可得a≥-2時(shí)，[1，2]遞減，即有
f（2）=4，即為-3-2a=4，解得a=-$\frac{7}{2}$，不成立；
當(dāng)1＜-$\frac{a}{2}$＜2即為-4＜a＜-2時(shí)，f（1）=4或f（2）=4，
即有-a=4或-3-2a=4，解得a=-4或-$\frac{7}{2}$，
即有a=-$\frac{7}{2}$檢驗(yàn)不成立；
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥2即為a≤-4時(shí)，[1，2]遞增，即有f（1）=4，
即-a=4，解得a=-4，成立．
綜上可得，a=-4；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得對(duì)任意的x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），
即為f（x₁）_max≥g（x₂）_max，
①當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤1，可得a≥-2時(shí)，f（x）在[1，2]遞減，即有
f（1）取得最大值-a，-a≥ax²+x+a，
即為a≤$\frac{-x}{2+{x}^{2}}$=$\frac{-1}{x+\frac{2}{x}}$在[1，2]恒成立，
由x+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$∈[1，2]時(shí)，等號(hào)成立．
即有a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則為-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
②當(dāng)1＜-$\frac{a}{2}$＜2即為-4＜a＜-2時(shí)，f（x）取得最大值f（-$\frac{a}{2}$）=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即有1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥ax²+x+a，
當(dāng)-4＜a＜-2時(shí)，g（x）在[1，2]遞減，g（1）取得最大值，且為2a+1，
1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥1+2a，解得a≥8或a≤0，則有-4＜a＜-2；
③當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥2即為a≤-4時(shí)，[1，2]遞增，即有f（2）取得最大值-3-2a，
即有-3-2a≥ax²+x+a，當(dāng)a≤-4時(shí)，g（x）在[1，2]遞減，g（1）取得最大值，且為2a+1，
-3-2a≥1+2a，解得a≤-1，則有a≤-4．
綜上可得，a的范圍為a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．