【題目】設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增,其中.

(1)求的值;

(2)若,當(dāng)時(shí),試比較的大小關(guān)系(其中的導(dǎo)函數(shù)),請(qǐng)寫出詳細(xì)的推理過程;

(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1) ;(2)答案見解析;(3) .

【解析】試題分析:

(1)利用導(dǎo)函數(shù)結(jié)合恒成立的條件可得

(2)結(jié)合題意可知,據(jù)此可得函數(shù)f(x)的解析式,結(jié)合函數(shù)的解析式可得.

(3)構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的特征和恒成立的條件可得的取值范圍是.

試題解析:

(1)∵單調(diào)遞增,∴上恒成立,即恒成立.∵當(dāng)時(shí), , ∴,又,∴,∴,∴.

(2)由(1)可知,∴ ,∴,∴,令,∴,∴上單調(diào)遞增,∴,令,則單調(diào)遞減,∵,∴,使得單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,∵,∴,∴,又兩個(gè)函數(shù)的最小值不同時(shí)取得: ,即: .

(3)∵恒成立,即: 恒成立,令,則,由(1)得: ,∴,即: ,∴,∴,當(dāng)時(shí),∵,∴ ,∴單調(diào)遞增,∴,符合題意;當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增, ,∴單調(diào)遞增,∴,符合題意;當(dāng)時(shí), 上是增函數(shù),∴ ,∴單調(diào)遞增,∴,符合題意;當(dāng)時(shí), ,∴上單調(diào)遞增,又,且,∴存在唯一零點(diǎn),∴單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí), ,∴單調(diào)遞減,∴,不合題意,綜上: .

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