Question

3．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，|AF|的最大值為M，|BF|的最小值為m，滿足M•m=$\frac{3}{4}$a²．
（Ⅰ）若線段AB垂直于x軸時，|AB|=$\frac{3}{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓的焦距為2，設線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，O是坐標原點，記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，求$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設F（-c，0）（c＞0），則根據橢圓性質得M=a+c，m=a-c，結合條件，解方程可得a，c，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2，b=$\sqrt{3}$，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．設直線AB的方程為y=k（x+1），并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，由韋達定理和中點坐標公式可得G的坐標，再由三角形相似的性質，可得面積比為對應邊的平方比，結合不等式的性質即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ） 設F（-c，0）（c＞0），則根據橢圓性質得
M=a+c，m=a-c而M•m=$\frac{3}{4}$a²，
所以有a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，即a²=4c²，即a=2c，
又$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$且a²=b²+c²，
得a=1，b²=$\frac{3}{4}$，
因此橢圓的方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2，b=$\sqrt{3}$，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
根據條件直線AB的斜率一定存在且不為零，設直線AB的方程為y=k（x+c），
并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由直線與橢圓方程消去y并整理得，（4k²+3）x²+8ck²x+4k²-12c²=0
從而有x₁+x₂=-$\frac{8c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2c）=$\frac{6ck}{4{k}^{2}+3}$，（6分）
所以G（-$\frac{4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}$）．
因為DG⊥AB，所以$\frac{\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}}{-\frac{4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{x}_{D}}•k=-1$，所以x_D=-$\frac{c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$．
c=1得到x_D=-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$
由Rt△FGD與Rt△EOD相似，所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{G{D}^{2}}{O{D}^{2}}$=9+$\frac{9}{{k}^{2}}$＞9．（10分）
令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=t，則t＞9，從而$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$＜$\frac{2}{9+\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{41}$，
即$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范圍是（0，$\frac{9}{41}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查三角形相似的性質：三角形的面積之比為相似比的平方，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．