Question

7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求圖中a、b的值及函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（3）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得，a=$\frac{5π}{12}$，b=f（0），計(jì)算求得結(jié)果，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得m的最小值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，可得A=2，
$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=π，可得φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由題意可得，a=$\frac{5π}{12}$-T=$\frac{5π}{12}$-$\frac{2π}{2}$=-$\frac{7π}{12}$，b=2sin（0+$\frac{π}{6}$）=1．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（3）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，
得到g（x）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）的圖象
根據(jù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，可得$\frac{2π}{3}$+2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故要求m的最小值為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．