Question

19．已知z是復(fù)數(shù)，若z+i為實(shí)數(shù)，z-2為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z
（2）求|$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}$|

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=x+yi  （x，y∈R），z+i=x+（y+1）i為實(shí)數(shù)，得到虛部等于0，即可求出y的值，又已知z-2=（x-2）-i為純虛數(shù)，得到實(shí)部等于0，即可求出x的值，則復(fù)數(shù)z可求．
（2）把復(fù)數(shù)z=2-i代入$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}$，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi  （x，y∈R），
∵z+i=x+（y+1）i為實(shí)數(shù)，
∴y+1=0，即y=-1．
又∵z-2=（x-2）-i為純虛數(shù)，
∴x-2=0，即x=2．
∴z=2-i．
（2）∵$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}=\frac{（2-i）^{2}-（2-i）}{1+i}$
=$\frac{1-3i}{1+i}=\frac{（1-3i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2-4i}{2}$=-1-2i，
∴$|\frac{{z}^{2}-z}{1+i}|=|-1-2i|=\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．