Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=2[f（x）]²+2bf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可得即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)k，有2個(gè)不同的k，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解．故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的k在開區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可得b的不等式，可以得出答案．

解答 解：根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：

由圖象可得當(dāng)f（x）∈（0，1）時(shí)，
函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)．
若方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令k=f（x），
則關(guān)于k的方程2k²+2bk+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根k₁、k₂，且k₁和k₂均為大于0且小于1的實(shí)數(shù)．
即有k₁+k₂=-b，k₁k₂=$\frac{1}{2}$．
故：$\left\{\begin{array}{l}{△=4^{2}-8＞0}\\{0＜{k}_{1}+{k}_{2}＜2}\\{{k}_{1}{k}_{2}＞0}\\{（{k}_{1}-1）（{k}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{b＞\sqrt{2}或b＜-\sqrt{2}}\\{0＜-b＜2}\\{b＞-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
可得-$\frac{3}{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$．
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法．