Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦點F（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點不在圓x²+y²=$\frac{5}{9}$內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓右焦點F（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}}\right.$，得：3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦點F（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒a=\sqrt{2}c$，又c=1，故a=$\sqrt{2}$，b=1，（3分）
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$（4分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}}\right.$，
消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=-$\frac{4m}{3}+2m$=$\frac{2m}{3}$，
即AB的中點為（-$\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$），（9分）
又AB的中點不在圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{9}$內(nèi)，∴$\frac{4{m}^{2}}{9}+\frac{{m}^{2}}{9}=\frac{5{m}^{2}}{9}≥\frac{5}{9}$，
解得m≤-1或m≥1．
綜上可知，-$\sqrt{3}＜m≤-1$或1$≤m＜\sqrt{3}$．（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．