Question

13．f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的范圍為（　�。�

• A． （0，1]
• B． [-1，1]
• C． （1-e，1]
• D． （1-e，1）

Answer 1

分析 f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即為關(guān)于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，分類(lèi)討論即可求出k的范圍．

解答 解：f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）
在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）可化為$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
②當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）化為$\frac{1}{k-1}$=xe^x．
令g（x）=xe^x，則有g(shù)′（x）=（1+x）xe^x．
令g′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）		-$\frac{1}{e}$

當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）_min=-$\frac{1}{e}$，同時(shí)當(dāng)x趨于+∞時(shí)，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的取值范圍為[-$\frac{1}{e}$，+∞）．
所以當(dāng)$\frac{1}{k-1}$∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）時(shí)，方程（*）無(wú)實(shí)數(shù)解，解得k的取值范圍是（1-e，1）．
綜上所述k的取值范圍為（1-e，1]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值問(wèn)題，以及求出函數(shù)有參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．