Question

3．圓上的點(diǎn)（2，1）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線x-y+1=0相交所得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，則圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=5．

Answer 1

分析 設(shè)出圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)還在圓上得圓心在這條直線上，把圓心坐標(biāo)代入到直線x+y=0中得方程①；把A的坐標(biāo)代入圓的方程得方程②；由圓與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)，利用垂徑定理，勾股定理得方程③，三者聯(lián)立求出a、b和r的值，即得圓的方程．

解答 解：設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，
∵點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，
∴圓心（a，b）在直線x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2-a）²+（1-b）²=r²；②
又直線x-y+1=0截圓所得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
且圓心（a，b）到直線x-y+1=0的距離為d=$\frac{|a-b+1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|a-b+1|}{\sqrt{2}}$，
根據(jù)垂徑定理得：r²-d²=${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$，
即r²-（$\frac{|a-b+1|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$③；
由方程①②③組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{{r}^{2}=5}\end{array}\right.$；
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=5．
故答案為：（x-1）²+（y+1）²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用垂徑定理與對(duì)稱知識(shí)化簡(jiǎn)求值，是中檔題題目．