Question

13．當$0＜x≤\frac{1}{2}$時，不等式4^x＜log_ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若當0≤x≤$\frac{1}{2}$時，不等式4^x＜log_ax恒成立，則在0≤x≤$\frac{1}{2}$時，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標系中，分析畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．

解答 解：當0≤x≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示：

若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點時，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對應的底數(shù)a應滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，
故答案為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．