Question

3．已知點(diǎn)Q是圓M：（x+1）²+y²=64（圓心為M）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（1，0），線段QN的中垂線交MQ于點(diǎn)P
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）已知點(diǎn)B（2，2），S是軌跡E上一動(dòng)點(diǎn)，求|SN|+|SB|的最大值；
（3）在軌跡E上是否存在點(diǎn)T，使$\frac{1}{|TM|}$，$\frac{1}{|MN|}$，$\frac{1}{|TN|}$成等差數(shù)列？若存在，求出|TM|與|TN|的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線性質(zhì)得出|PQ|=|PN|；再分析出|PM|+|PN|為定值，則知點(diǎn)P的軌跡為橢，最后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出答案
（2）由橢圓定義|SM|+|SN|=8，于是|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|．
（3）利用焦半徑公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，可知M（-1，0），|MQ|=8，
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段NQ的垂直平分線上，所以|PQ|=|PN|
又|PM|+|PQ|=|MQ|=8，所以|PM|+|PN|=8（8＞2），
那么點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其中a=4，c=1，
則b²=a²-c²=15，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（2）由橢圓定義|SM|+|SN|=8，
于是|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|．
當(dāng)M不在直線MB與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、S、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|SB|-|SM|＜|BF|，
而當(dāng)M在直線MB與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有|SB|-|SM|=-|BM|，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有|SB|-|SM|=|BM|．
顯然當(dāng)M在直線MB與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為
|SN|+|SB|=8+|SB|-|SM|=8+|BM|=8+$\sqrt{（2+1）^{2}+{2}^{2}}$=8+$\sqrt{13}$．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)T滿足題設(shè)．
由$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1，可知|TM|+|TN|=8，|MNA|=2，
結(jié)合$\frac{2}{|MN|}$=$\frac{1}{|TM|}$+$\frac{1}{|TN|}$．
得|TM|•|TN|=8
由$\left\{\begin{array}{l}{|TM|+|TN|=8}\\{|TM|•|TN|=8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{|TM|=4+2\sqrt{2}}\\{|TN|=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|TM|=4-2\sqrt{2}}\\{|TN|=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
由于3≤|TM|≤5且3≤|TN|≤5，而4-2$\sqrt{2}$＜3，4+2$\sqrt{2}$＞5．
故不存在這樣的點(diǎn)T滿足題設(shè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．