Question

18．直線y=x+b與曲線x=-$\sqrt{1-y^2}$有且只有一個交點，則b的取值范圍是（　�。�

• A． |b|=$\sqrt{2}$
• B． -1≤b＜1，或b=$\sqrt{2}$
• C． -1≤b≤1
• D． 非A，B，C結論

Answer 1

分析 把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，要使直線與曲線有且僅有一個交點，考慮三個極端情況，利用直線與圓的位置關系進行判斷．

解答 解：由x=-$\sqrt{1-y^2}$，化簡得x²+y²=1，注意到x≥0，所以這個曲線應該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在二、三象限．
考慮三個極端情況：
①直線在第二象限與曲線相切，②交曲線于（0，-1）和另一個點，③與曲線交于點（0，1）．
直線在第二象限與曲線相切時解得b=$\sqrt{2}$，當直線y=x+b經過點（0，1）時，b=1．
當直線y=x+b經過點（0，-1）時，b=-1，所以此時-1≤b＜1．
綜上滿足只有一個公共點的實數b 的取值范圍是：-1≤b＜1或b=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了直線與圓相交的性質．對于此類問題除了用聯立方程轉化為方程的根的問題之外，也可用數形結合的方法較為直觀．