Question

4．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$．
（1）求橢圓T的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，1）的兩條直線分別與橢圓T交于點(diǎn)A，C和B，D，若AB∥CD，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓T的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），推導(dǎo)出$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，從而求出${x}_{3}=\frac{2（1+λ）-{x}_{1}}{λ}$，${y}_{3}=\frac{（1+λ）-{y}_{1}}{λ}$，由點(diǎn)C在橢圓上，得$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）-2（1+λ）（\frac{2{x}_{1}}{9}+\frac{{y}_{1}}{4}）+\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{9}$$+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}={λ}^{2}$，由點(diǎn)A在橢圓上，得到$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）={λ}^{2}-1$，由AB∥CD，則 $\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，同理可得（1+λ）²（$\frac{4}{9}+\frac{1}{4}$）-2（1+λ）（$\frac{2{x}_{2}}{9}+\frac{{y}_{2}}{4}$）=λ²-1，由此能求出直線AB的斜率．

解答 解：（1）∵橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$．
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2^{2}}{a}=\frac{8}{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2，
則橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵過點(diǎn)P（2，1）的兩條直線分別與橢圓T交于點(diǎn)A，C和B，D，AB∥CD，
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，
則2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），
故${x}_{3}=\frac{2（1+λ）-{x}_{1}}{λ}$，${y}_{3}=\frac{（1+λ）-{y}_{1}}{λ}$，
∵點(diǎn)C在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}=1$，則$\frac{[2（1+λ）-{x}_{1}]^{2}}{9{λ}^{2}}$+$\frac{[（1+λ）-{y}_{1}]^{2}}{4{λ}^{2}}$=1，
整理得$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）-2（1+λ）（\frac{2{x}_{1}}{9}+\frac{{y}_{1}}{4}）+\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{9}$$+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}={λ}^{2}$，
由點(diǎn)A在橢圓上知$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，
故$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）={λ}^{2}-1$，①
又AB∥CD，則 $\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，
同理可得（1+λ）²（$\frac{4}{9}+\frac{1}{4}$）-2（1+λ）（$\frac{2{x}_{2}}{9}+\frac{{y}_{2}}{4}$）=λ²-1，②
①-②得$\frac{2}{9}（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{1}{4}（{y}_{2}-{y}_{1}）=0$，
由題意可知x₁≠x₂，則直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{8}{9}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、向量知識(shí)、直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．