Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=-$\frac{π}{8}$是y=f（x）的零點，直線x=$\frac{3π}{8}$為y=f（x）圖象的一條對稱軸，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）上單調(diào)，則ω的最大值是（　�。�

• A． 9
• B． 7
• C． 5
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤8，結(jié)合條件進行驗證，可得ω的最大值．

解答 解：∵x=-$\frac{π}{8}$是y=f（x）的零點，直線x=$\frac{3π}{8}$為y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴$\frac{2n+1}{4}•T$=$\frac{π}{2}$，（n∈N）
即ω=$\frac{2π}{T}$=2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）上單調(diào)，
∴$\frac{5π}{24}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{8}$≤$\frac{T}{2}$
即T=$\frac{2π}{ω}≥\frac{π}{4}$，解得：ω≤8，
當(dāng)ω=7時，-$\frac{7π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=$\frac{3π}{8}$，
此時f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）不單調(diào)，不滿足題意；
當(dāng)ω=5時，-$\frac{5π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=$\frac{π}{8}$，
此時f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）不單調(diào)，滿足題意；
當(dāng)ω=3時，-$\frac{3π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=-$\frac{π}{8}$，
此時f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）單調(diào)，滿足題意；故ω的最大值為3，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大．