Question

10．某校從參加高二年級數學競賽考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數，滿分100分）分成六段，然后畫出如圖所示部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求第四小組的頻率以及頻率分布直方圖中第四小矩形的高；
（2）估計這次考試的及格率（60分及60分以上為及格）和平均分；
（3）把從分數段的學生組成C組，現從B，C兩組中選兩人參加科普知識競賽，求這兩個學生都來自C組的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第四小組分數在[70，80）內的頻率，由此能求出第四個小矩形的高．
（2）由題意求出60分以上的各組頻率和，從而得到這次考試的及格率，由頻率分布直方圖能求出本次考試中的平均分．
（3）由已知可得C組共有學生人，從B，C兩組共5人中選兩人參加科普知識競賽，設5人分別為B₁，B₂，C₁，C₂，C₃，利用列舉法能求出這兩個學生都來自C組的概率．

解答 解：（1）第四小組分數在[70，80）內的頻率為：
1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30，
∴第四個小矩形的高為：$\frac{0.30}{10}$=0.03 …（4分）
（2）由題意60分以上的各組頻率和為：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
故這次考試的及格率約為75%，…（6分）
由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
得本次考試中的平均分約為71：…（8分）
（3）由已知可得C組共有學生60×10×0.005=3人，
則從B，C兩組共5人中選兩人參加科普知識競賽，設5人分別為B₁，B₂，C₁，C₂，C₃，
共有（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₁，C₂），（B₁，C₃），（B₂，C₁），
（B₂，C₂），（B₂，C₃），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₂，C₃）等10種不同情況，
其中這兩個學生都來自C組有3種不同情況，
∴這兩個學生都來自C組的概率$P=\frac{3}{10}$．         …（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．