Question

7．若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4．當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值$-\frac{4}{3}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，以及函數(shù)的極值，求出a，b，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極值與端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到函數(shù)的最值．

解答 （8分）解：（1）f′（x）=3ax²-b，由題知：f′（2）=0且$f（2）=-\frac{4}{3}$，
則代入有：f′（2）=12a-b=0且$f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}$．
解得$a=\frac{1}{3}，b=4$，
則函數(shù)解析式為：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．（3分）
（2）由（1）知：f′（x）=x²-4，令f′（x）=0解得x=2或x=-2
當(dāng)x∈（-3，-2）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-3，-2）上單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增．
則f（x）在x=-2處取極大值，在x=2處取極小值．
又∵f（-3）=7，f（3）=1，$f（-2）=\frac{28}{3}$，$f（2）=-\frac{4}{3}$，
∴則f（x）在[-3，3]上的最大值為$\frac{28}{3}$，最小值為$-\frac{4}{3}$．（8分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．