Question

2．（1）求證：$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$；
（2）求證：$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．

Answer 1

分析 （1）運用分析法證明，考慮兩邊平方，即可得證；
（2）運用分析法證明，運用分子有理化，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）要證$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$，
只要證4+2$\sqrt{3}$＜8，
即為2$\sqrt{3}$＜4，即12＜16顯然成立，
故$\sqrt{3}$+1＜2$\sqrt{2}$；
（2）要證$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．
只要證$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}{1}$＜$\frac{\sqrt{a-2}-\sqrt{a-3}}{1}$，
即為$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}}$，
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt{a-1}$＞$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{a-3}$，
由$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$，$\sqrt{a-1}$＞$\sqrt{a-3}$，
則上式顯然成立．
故$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，其中a≥3．

點評 本題考查根式不等式的證明，考查分析法的運用，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．