Question

17．已知a=$\int_0^{\frac{π}{6}}{cosxdx}$，則${（x+\frac{a}{x}）^8}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是$\frac{35}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的運(yùn)算求出a的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosxdx=sinx${|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴在${（x+\frac{1}{2x}）}^{8}$的展開式中，設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
則T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=0，解得r=4，
∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
故答案為：$\frac{35}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了簡單定積分的計(jì)算問題，也考查了利用通項(xiàng)公式計(jì)算展開式中常數(shù)項(xiàng)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．