Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1兩焦點(diǎn)為F₁和F₂，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b以c的值，即可得|F₁F₂|的值；進(jìn)而在在△PF₁F₂中，由余弦定理可得關(guān)系式|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°，代入數(shù)據(jù)變形可得4=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，結(jié)合橢圓的定義可得4=16-3|PF₁||PF₂|，即可得|PF₁||PF₂|=4，由正弦定理計(jì)算可得答案．

解答 解：由$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1可知，已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴c$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，∴|F₁F₂|=2c=2，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°
=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|，即4=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，
由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=2×2=4，
∴4=16-3|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=4，
∴${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|•sin 60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及余弦定理的應(yīng)用，掌握橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．