Question

19．點(diǎn)P是曲線ρ=2（0≤θ≤π）上的動點(diǎn)，A（2，0），AP的中點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q的軌跡C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若C上點(diǎn)M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線ρ=2（0≤θ≤π）化為：x²+y²=4（0≤y≤2），設(shè)Q（x，y），則P（2x-2，2y），代入半圓的方程即可得出．
（II）由（I）可得：設(shè)切線的傾斜角為θ．C上點(diǎn)M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，可得$-\sqrt{3}$≤tanθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進(jìn)而得出．

解答 解：（I）曲線ρ=2（0≤θ≤π）化為：x²+y²=4（0≤y≤2），設(shè)Q（x，y），則P（2x-2，2y），
代入半圓的方程為：（2x-2）²+（2y）²=4，化為（x-1）²+y²=1，（0≤y≤1）．
（II）由（I）可得：
設(shè)切線的傾斜角為θ．
∵C上點(diǎn)M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
∴$-\sqrt{3}$≤tanθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴120°≤θ≤150°，
設(shè)D為切點(diǎn)，∠DCA=α，
則30°≤α≤60°，
取CD的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），$y=\sqrt{3}$（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是$[\frac{3}{2}，1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、圓的方程、斜率的意義、圓的切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．