Question

9．設(shè)拋物線C：y²=4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是一個(gè)定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），通過l⊥x軸，l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求解數(shù)量積的值即可．

解答 證明：由C：y²=4x，可得F（1，0）
若l⊥x軸，則l：x=1，∴A（1，2），B（1，-2），∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×1+2×（-2）=-3
若l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$消x得：ky²-4y-4k=0
∴${y_1}{y_2}=\frac{-4k}{k}=-4$從而${x_1}•{x_2}=\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}=1$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=1-4=-3$
綜上可知：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-3$（定值）

點(diǎn)評 本題考查向量與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．