Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：3x-4y+a=0與圓C：x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)a=±5．

Answer 1

分析 把直線與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x_A+x_B，然后利用直線方程求得y_A+y_B的表達(dá)式，進(jìn)而可求得AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)利用向量的平行四邊形法則可求得$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OC}$，進(jìn)而可求得M的坐標(biāo)代入圓的方程求得a．

解答 解：直線l：3x-4y+a=0與圓x²+y²=4相交于A，B兩點(diǎn)
聯(lián)立兩方程得：25x²+6ax+a²-64=0
∴x_A+x_B=-$\frac{6a}{25}$，y_A+y_B=kx_A+1+kx_B+1=$\frac{8a}{25}$
所以AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{3a}{25}$，$\frac{4a}{25}$）
利用向量的平行四邊形法則可求得$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OC}$
說明M點(diǎn)的坐標(biāo)為AB中點(diǎn)的兩倍，M（-$\frac{6a}{25}$，$\frac{8a}{25}$）
M點(diǎn)在圓上，代入方程化簡得：$\frac{36+64}{625}$a²=4
所以a=±5
故答案為：±5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，平面向量的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和基本運(yùn)算的能力．