6.已知a1=1,點(an,an+1)在函數(shù)y=2x+3的圖象上.
(Ⅰ)求證:{an+3}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求{an}的通項公式;
(Ⅲ)求數(shù)列{n(an+3)}的前n項和Tn

分析 (I)由點(an,an+1)在函數(shù)y=2x+3的圖象上,可得an+1=2an+3,變形為an+1+3=2(an+3),利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可證明.
(II)由(I)可知:an+3=4×2n-1=2n+1,即可得出.
(III)n(an+3)=n•2n+1.利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 (I)證明:∵點(an,an+1)在函數(shù)y=2x+3的圖象上,∴an+1=2an+3,
變形為an+1+3=2(an+3),a1+3=4,
∴{an+3}是等比數(shù)列,首項為4,公比為2.
(II)解:由(I)可知:an+3=4×2n-1=2n+1,
∴an=2n+1-3.
(III)解:n(an+3)=n•2n+1
∴數(shù)列{n(an+3)}的前n項和Tn=22+2×23+…+n•2n+1
∴2Tn=23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2,
∴-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2=$\frac{4(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+2=(1-n)•2n+2-4,
∴Tn=(n-1)•2n+2+4.

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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