Question

7．求函數(shù)y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$，x∈（0，+∞）的值域．

Answer 1

分析 利用分離常數(shù)法得y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，再利用換元法令x+2=t，從而求函數(shù)的值域．

解答 解：y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，
令x+2=t，
∵x≥0，∴t≥2，
∴x=t-2，
y=3-$\frac{t}{（t-2）^{2}+（t-2）+1}$
=3-$\frac{t}{{t}^{2}-3t+3}$
=3-$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$，
∵t+$\frac{3}{t}$在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t+$\frac{3}{t}$-3≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$≤2，
故y∈[1，3）．
故函數(shù)y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$，x∈（0，+∞）的值域為[1，3）．

點評 本題考查了函數(shù)的值域的求法，利用了分離常數(shù)法與換元法等，屬于中檔題．