9.如圖,在四棱錐S-ABCD中,已知底面ABCD為直角梯形,其中AD∥BC,∠BAD=90°,SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=2,CD=$\sqrt{5}$.
(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)在棱SD上找一點(diǎn)E,使CE∥平面SAB,并證明.

分析 (1)由已知先求出AD=2+$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{2}^{2}}$=3,由此能求出四棱錐S-ABCD的體積.
(2)在SD上找一點(diǎn)E,使得SE:SD=2:3,此時(shí)CE∥平面SAB.過E作EF∥AD交SA于F,連接BF,CE,由△SFE∽△SAD,得到四邊形BCEF是平行四邊形,由此能證明CE∥面SAB.

解答 解:(1)∵在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,
SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=2,CD=$\sqrt{5}$,
∴AD=2+$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{2}^{2}}$=3,
${S}_{梯形ABCD}=\frac{2+3}{2}×2$=5,
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×5×2$=$\frac{10}{3}$.
(2)在SD上找一點(diǎn)E,使得SE:SD=2:3,此時(shí)CE∥平面SAB.
證明如下:過E作EF∥AD交SA于F,連接BF,CE
則△SFE∽△SAD,∴$\frac{EF}{AD}=\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$,EF=2
又EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC,EF=BC=2
∴四邊形BCEF是平行四邊形
∴CE∥BF,
∵BF?面SAB上,CE?面SAB,
∴CE∥面SAB.

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐的體積的求法,考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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