【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax有極值1,這里e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并確定1是極大值還是極小值;
(2)若當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex﹣a,∵函數(shù)f(x)=ex﹣ax有極值1,

∴存在x0,使得f′(x0)= ﹣a=0,f(x0)= ﹣ax0=1,

解得x0=0,a=1.

∴f′(x)=ex﹣1,可知:0是極小值點(diǎn),因此1是極小值.


(2)解:當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)≥0恒成立.

令g(x)=ex﹣(x+1),x≥0.g(0)=0.

則g′(x)=ex﹣1≥0,

∴x≥0時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,因此g(x)≥g(0)=0,因此ex≥x+1.

①若mxln(x+1)+x+1≤x+1,則ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)≥0恒成立.

則mxln(x+1)≤0,可得:m≤0.

∴m≤0時(shí),x≥0時(shí),f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立.

②m>0時(shí),x≥0時(shí),mxln(x+1)+x+1≤ex

令F(x)=mxln(x+1)+x+1﹣ex,(x≥0),F(xiàn)(0)=0.

由F(x)≤0,可得mxln(x+1)≤ex﹣x﹣1,

x=0時(shí),化為0≤0,恒成立,m∈R.

x>0時(shí),化為:m≤

下面證明:

令h(x)=2ex﹣2x﹣2﹣xln(x+1),h(0)=0.

h′(x)=2ex﹣2﹣ln(x+1)﹣ .h′(0)=0.

h(x)=2ex ≥h(0)=0,

∴h′(x)≥0.

∴函數(shù)h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(x)≥h(0)=0.

因此: 成立,并且 是其最小值.

∴m≤

綜上可得:實(shí)數(shù)m的取值范圍是


【解析】(1)f′(x)=ex﹣a,根據(jù)函數(shù)f(x)=ex﹣ax有極值1,可得存在x0,使得f′(x0)= ﹣a=0,f(x0)= ﹣ax0=1,解得x0,a.即可判斷出結(jié)論.(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)≥0恒成立.令g(x)=ex﹣(x+1),x≥0.g(0)=0.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得:ex≥x+1.①若mxln(x+1)+x+1≤x+1,則ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)≥0恒成立.可得:m≤0.②m>0時(shí),x≥0時(shí),mxln(x+1)+x+1≤ex.令F(x)=mxln(x+1)+x+1﹣ex,(x≥0),F(xiàn)(0)=0.

由F(x)≤0,可得mxln(x+1)≤ex﹣x﹣1,x>0時(shí),化為:m≤ .下面證明: .利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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