【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn) ,且經(jīng)過點(diǎn) ,點(diǎn)M是x軸上的一點(diǎn),過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的上方)
(1)求橢圓C的方程;
(2)若|AM|=2|MB|,且直線l與圓 相切于點(diǎn)N,求|MN|的長(zhǎng).
【答案】
(1)解:由題意知: ,
a2=3+b2>3,解得:a2=4,b2=1,
故橢圓C的方程為 ;
(2)解:設(shè)M(m,0),直線l:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由|AM|=2|MB|,有y1=﹣2y2,
由 ,得(t2+4)y2+2my+m2﹣4=0,
由韋達(dá)定理得: ,
由 ,
得 ,即 ,
化簡(jiǎn)得(m2﹣4)(t2+4)=﹣8t2m2,①
原點(diǎn)O到直線的距離 ,
又直線l與圓 相切,
∴ ,即 ,②
聯(lián)立①②得:21m4﹣16m2﹣16=0,即(3m2﹣4)(7m2+4)=0,
解得 ,此時(shí) ,滿足△>0,得 ,
在Rt△OMN中,可得 ,
∴|MN|的長(zhǎng)為 .
【解析】(1)由題意列關(guān)于a,b的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓方程可求;(2)設(shè)出M,A,B的坐標(biāo)及直線l的方程x=ty+m,與橢圓方程聯(lián)立,化為關(guān)于y的一元二次方程,由|AM|=2|MB|,有y1=﹣2y2,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得m與t的關(guān)系,由直線與圓相切可得m與t的另一關(guān)系式,聯(lián)立求得m,t的值,可得M的坐標(biāo),則|MN|的長(zhǎng)可求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某企業(yè)的近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:
(1)試問這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)較高?
(2)通過計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì);
(3)試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測(cè)第3年8月份的利潤(rùn).
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利潤(rùn)y(單位:百萬元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相關(guān)公式: = = , = ﹣ x.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥﹣2的解集M;
(Ⅱ)對(duì)任意x∈[a,+∞],都有f(x)≤x﹣a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(1,0),且AC、BC所在直線的斜率之積等于﹣2,記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)直線y=2x+m(m∈R且m≠0)與曲線E相交于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)M( ,1),求△MPQ面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將參加冬季越野跑的600名選手編號(hào)為:001,002,…,600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本,把編號(hào)分50組后,在第一組的001到012這12個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為004.這600名選手分穿著三種顏色的衣服,從001到301穿紅色衣服,從302到496穿白色衣服,從497到600穿黃色衣服.則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四數(shù)a1 , a2 , a3 , a4依次成等比數(shù)列,且公比q不為1.將此數(shù)列刪去一個(gè)數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列,則正數(shù)q的取值集合是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答題
(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;
(2)設(shè)f(x)=x2﹣x+1,實(shí)數(shù)a滿足|x﹣a|<1,求證:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax有極值1,這里e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并確定1是極大值還是極小值;
(2)若當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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