Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）滿足：f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），且在區(qū)間（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，給出下列四個(gè)命題：
P₁：f（x）在[0，2π]上單調(diào)遞減；
P₂：f（x）的最小正周期是4π；
P₃：f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)；
P₄：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{4}{3}$π，0）對(duì)稱(chēng)．其中的真命題是（　�。�

• A． P₁，P₂
• B． P₂，P₄
• C． P₁，P₃
• D． P₃，P₄

Answer 1

分析 根據(jù)f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），可得f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為 x=$\frac{11π}{3}$．再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，求得ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．再利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，余弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，判斷各個(gè)命題是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）滿足：f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），
可得函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為 x=$\frac{11π}{3}$．
再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，
可得ω×$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{6}$=2kπ，k∈Z，且$\frac{14π}{3}$-$\frac{8π}{3}$＜$\frac{2π}{ω}$，
即ω=$\frac{6k-\frac{1}{2}}{11}$ 且0＜ω＜1，∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
對(duì)于P₁，在[0，2π]上，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，f（x）在[0，2π]上不單調(diào)，故P₁不正確；
對(duì)于P₂，f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，故P₂正確；
對(duì)于P₃，當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=cos$\frac{5π}{12}$，不是最值，故f（x）的圖象不關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)，故P₃不正確；
對(duì)于P₄，當(dāng)x=-$\frac{4π}{3}$時(shí)，f（x）=cos（-$\frac{π}{2}$）=0，故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{4}{3}$π，0）對(duì)稱(chēng)；故P₄正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，余弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，屬于中檔題．