Question

19．根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》（HJ633-2012）規(guī)定，空氣污染指數(shù)劃分為六檔，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴(yán)重，對人體健康的影響也越明顯，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分別是石家莊市、北京市近期空氣質(zhì)量記錄．
表一：

空氣質(zhì)量指數(shù)	[0，50]	[51，100]	[101，150]	[151，200]	[201，300]	300以上
空氣質(zhì)量狀況	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染

（Ⅰ）根據(jù)表（2）、表（3）中的數(shù)據(jù)，通過研究1月1日至7日石家莊市、北京市近一周空氣污染指數(shù)的平均值，比較石家莊市、北京市近一周空氣污染的嚴(yán)重程度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（Ⅱ）將1月1日至7日分別記為x，x=1，2，3，4，5，6，7，其對應(yīng)的空氣污染指數(shù)為y，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)說明石家莊市空氣污染指數(shù)y與日期x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，丙說明理由
（Ⅲ）小明在北京經(jīng)營一家洗車店，經(jīng)小明統(tǒng)計(jì)，AQI指數(shù)不高于200時(shí)，洗車店平均每天虧損約200元，AQI指數(shù)在200至400時(shí)，洗車店平均每天收入約400元，AQI指數(shù)大于400時(shí)，洗車店平均每天收入約700元，求小明的洗車店在近兩周每天收入的數(shù)學(xué)期望（結(jié)構(gòu)保留整數(shù)部分）
附：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overrightarrow{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）}}$，r∈[0.30，0.75）時(shí)，相關(guān)性一般，r∈[0.75，1]時(shí)，相關(guān)性很強(qiáng)
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=28，$\sum_{i=1}^{n}$（y₁-$\overline{y}$）²≈123134，$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-$\overline{x}$）（y₁-$\overline{y}$）=$\stackrel{•}{5}$68，$\sqrt{3447752}$≈1857．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出平均數(shù)，比較即可；
（Ⅱ）求出r，根據(jù)r的范圍判斷即可；
（Ⅲ）設(shè)洗車店平均每天收入為X元，則X可能的取值為-200，400，700分別求出P（X=-200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．

解答 解：（Ⅰ）石家莊市近一周空氣污染指數(shù)的平均值為：
$\frac{0+435+349+328+396+247+299}{7}$≈293.43，
北京市近一周空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為：
$\frac{0+477+222+327+362+237+214}{7}$≈262.71，
∴石家莊市與北京市的空氣都處于重度污染，
且石家莊市比北京市的污染更嚴(yán)重；
（Ⅱ）r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overrightarrow{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）}}$≈$\frac{568}{\sqrt{28×123134}}$≈$\frac{568}{1857}$≈0.31，
∵r∈[0.30，0.75），
∴石家莊市空氣污染指數(shù)y與日期x之間線性相關(guān)關(guān)系一般；
（Ⅲ）設(shè)洗車店平均每天收入為X元，
則X可能的取值為-200，400，700，
P（X=-200）=$\frac{6}{14}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=400）=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=700）=$\frac{1}{14}$，
則X的分布列為：

X	-200	400	700
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{14}$

故E（X）=-200×$\frac{3}{7}$+400×$\frac{1}{2}$+700×$\frac{1}{14}$=$\frac{1150}{7}$≈164（元），
故小明的洗車店在近兩周每天收入的數(shù)學(xué)期望是164元．

點(diǎn)評 本題考查了平均數(shù)問題，考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及數(shù)學(xué)期望問題，是一道中檔題．